题目内容
（2009•崇明县二模）设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-
），且其右焦点到直线y-x-2
=0的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（
，0），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 2 |
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（
| 1 |
| 2 |
（3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．
分析：（1）由c=
，a=2，能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0），
=(x2-x1，y2-y1)，
=(
-x0，-y0)，由于
⊥
，所以(x2-x1)(
-x0)+(y2-y1)(-
)=0，则x12+2y12，x22+2y22．所以（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
另解：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P0（x0，y0）A（x1，y1）B（x2，y2），
消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0，x0=
=
，y0=
=
，直线AB的中垂线方程为y-
=-
(x-
)．由此能导出“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0），
=(x2-x1，y2-y1)，
=(t-x0，-y0)
由于
⊥
，所以（x2-x1）（t-x0）+（y2-y1）（-y0）=0，则x12+2y12①x22+2y22．所以（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0．由此能导出当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
| 2 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0），
| AB |
| P0M |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| P0M |
| 1 |
| 2 |
| y | 0 |
另解：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P0（x0，y0）A（x1，y1）B（x2，y2），
|
| x1+x2 |
| 2 |
| -2kb |
| 2k2+1 |
| y1+y2 |
| 2 |
| b |
| 2k2+1 |
| b |
| 2k2+1 |
| 1 |
| k |
| 2kb |
| 2k2+1 |
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0），
| AB |
| P0M |
由于
| AB |
| P0M |
解答：解：（1）∵c=
，a=2
∴椭圆C的标准方程：
+
=1
（2）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0）
=(x2-x1，y2-y1)，
=(
-x0，-y0)
由于
⊥
，所以(x2-x1)(
-x0)+(y2-y1)(-
)=0（Ⅰ）
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x0=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P0（x0，y0）A（x1，y1）B（x2，y2）
消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0x0=
=
，y0=
=
直线AB的中垂线方程为y-
=-
(x-
)
把点M(
，0)代入得0-
=-
(
-
)
可知
=-
所以Q的横坐标x0=
=
=1
即“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0）
=(x2-x1，y2-y1)，
=(t-x0，-y0)
由于
⊥
，所以（x2-x1）（t-x0）+（y2-y1）（-y0）=0（Ⅰ）
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x0=2t-2＜2t＜2
因此：当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
| 2 |
∴椭圆C的标准方程：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（2）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0）
| AB |
| P0M |
| 1 |
| 2 |
由于
| AB |
| P0M |
| 1 |
| 2 |
| y | 0 |
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
|
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x0=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P0（x0，y0）A（x1，y1）B（x2，y2）
|
| x1+x2 |
| 2 |
| -2kb |
| 2k2+1 |
| y1+y2 |
| 2 |
| b |
| 2k2+1 |
直线AB的中垂线方程为y-
| b |
| 2k2+1 |
| 1 |
| k |
| 2kb |
| 2k2+1 |
把点M(
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2k2+1 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| 2 |
| 2kb |
| 2k2+1 |
可知
| kb |
| 2k2+1 |
| 1 |
| 2 |
所以Q的横坐标x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| -2kb |
| 2k2+1 |
即“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0）
| AB |
| P0M |
由于
| AB |
| P0M |
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
|
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x0=2t-2＜2t＜2
因此：当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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