Question

函数f（x）的定义域为R，且满足：
①对于任意的x，y∈R，f（x-y+1）=f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）；
②f（x）在区间[0，1]上单调递增．
求：（Ⅰ）f（0）；（Ⅱ）不等式2f（x+1）-1≥0的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 通过赋值法，x=y=0，令x=0，y=1，以及x=y=

1

2

，推出f（0）＜f（1），求出f（0）即可；
（Ⅱ）通过令y=-x，以及令y=1，推出对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．推出函数的周期，根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，即可求满足2f（2x-1）-1≥0的实数x的集合．

解答：解：（Ⅰ）证明：令x=0，y=1，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或f（1）=

1

2

．
令x=0，y=0，得f（1）=[f（0）]²+[f（1）]²．
若f（1）=

1

2

，则f（0）=±

1

2

．
令x=y=

1

2

，得f（1）=2[f（

1

2

）]²．
即f（

1

2

）=±

1

2

，
因为f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）＜f（

1

2

）＜f（1），矛盾！
因此f（0）=0，
（Ⅱ）令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
即对于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
代入①式得对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（6分）
可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
即：函数f（x）的最小正周期为4．
这样可以大致描述f（x）的图象（如右）
令x=y=

1

3

，f(

2

3

)=2f(

1

3

)f(

2

3

)，
因为f(

2

3

)＞f(0)=0，所以f(

1

3

)=

1

2

，所以f(

5

3

)=

1

2

，…（12分）
所以2f（x+1）-1≥0，可得到f(x+1)≥

1

2

．
根据图象

1

3

+4k≤x+1≤

5

3

+4k，k∈Z，
所以不等式的解集是{x|4k-

2

3

≤x≤4k+

2

3

，k∈Z}…（14分）

点评：本题是综合题，考查赋值法求函数值的应用，函数奇偶性的判断与证明，函数图象的应用，不等式的解法．运算能力，理解能力要求比较高．