题目内容
(2009•闸北区一模)记数列{an}的前n项和为Sn,所有奇数项之和为S′,所有偶数项之和为S″.
(1)若{an}是等差数列,项数n为偶数,首项a1=1,公差d=
,且S″-S′=15,求Sn;
(2)若无穷数列{an}满足条件:①Sn+1=1-
Sn(n∈N*),②S′=S″.求{an}的通项;
(3)若{an}是等差数列,首项a1>0,公差d∈N*,且S′=36,S″=27,请写出所有满足条件的数列.
(1)若{an}是等差数列,项数n为偶数,首项a1=1,公差d=
3 |
2 |
(2)若无穷数列{an}满足条件:①Sn+1=1-
3 |
5 |
(3)若{an}是等差数列,首项a1>0,公差d∈N*,且S′=36,S″=27,请写出所有满足条件的数列.
分析:(1)因为{an}是等差数列且项数n为偶数,所以S偶-S奇 =
d,根据公式可以求出n,从而求出Sn;(2)先把递推公式Sn+1=1-
Sn,往后递推一项得Sn=1-
Sn-1,然后两式相减可以推出数列{an}是从第二项开始的无穷等比数列,公比q=-
,且0<|q|<1,然后根据无穷等比数列所有项和公式S=
,求出{an}的通项;(3)先判断出数列的项数为奇数,然后写出奇数项的和与偶数项的和进行作差或者作商,求出公差的取值范围d<3.又d∈N*,所以,d=1或d=2 从而确定所求数列.
n |
2 |
3 |
5 |
3 |
5 |
3 |
5 |
a1 |
1-q |
解答:解:由题意知
(1)若数列{an}项数n为偶数,由已知,得S″-S′=15=
•
解得n=20,
Sn=1×20+
×
=305;
(2)∵Sn+1=1-
Sn(n∈N*)①
∴Sn=1-
Sn-1(n∈N*,n≥2)②
即①减去②得:
=-
.
所以数列{an}是从第二项开始的无穷等比数列,公比q=-
,且0<|q|<1
∴S′=a1+
,
S″=
,
又∵S′=S″,
∴a1=
=
a2,
又∵Sn+1=1-
Sn(n∈N*),
当n=1时,S2=1-
S1
∴8a1+5a2=5
∴a1=
所以,对应的数列的通项为an=
(3)假设数列{an}项数n为偶数,S″-S′=
•d>0与S″-S′=-9矛盾.
故数列{an}项数n不为偶数.
解法1:设数列{an}项数n=2k+1(k∈N),
则S′=a1+a3+…+a2k+1=
•(k+1)
S″=a2+a4+a6+…+a2k=
•k
∵a1+a2k+1=a2+a2k,
∴
=
=
,
解得k=3,项数n=2×3+1=7,
∵S7=S′+S″=63=7a1+
•d,
∴a1+3d=9,
∵a1=9-3d>0,
∴d<3.又d∈N*,所以,d=1或d=2.
当d=1时,a1=6,此时,an=6+(n-1)•1=n+5,
所以,该数列为:6,7,8,9,10,11,12.
当d=2时,a1=3,此时,an=3+(n-1)•2=2n+1
所以,该数列为:3,5,7,9,11,13,15.
解法2:
,
解得k=3,项数n=2×3+1=7,
∵S7=S′+S″=63=7a1+
•d,
∴a1+3d=9,∵a1=9-3d>0,
∴d<3.又d∈N*,所以,d=1或d=2.
当d=1时,a1=6,此时,an=6+(n-1)•1=n+5,
所以,该数列为:6,7,8,9,10,11,12.
当d=2时,a1=3,此时,an=3+(n-1)•2=2n+1
所以,该数列为:3,5,7,9,11,13,15.
(1)若数列{an}项数n为偶数,由已知,得S″-S′=15=
3 |
2 |
n |
2 |
解得n=20,
Sn=1×20+
20×19 |
2 |
3 |
2 |
(2)∵Sn+1=1-
3 |
5 |
∴Sn=1-
3 |
5 |
即①减去②得:
an+1 |
an |
3 |
5 |
所以数列{an}是从第二项开始的无穷等比数列,公比q=-
3 |
5 |
∴S′=a1+
a2q |
1-q2 |
S″=
a2 |
1-q2 |
又∵S′=S″,
∴a1=
a2 |
1+q |
5 |
2 |
又∵Sn+1=1-
3 |
5 |
当n=1时,S2=1-
3 |
5 |
∴8a1+5a2=5
∴a1=
1 |
2 |
所以,对应的数列的通项为an=
|
(3)假设数列{an}项数n为偶数,S″-S′=
n |
2 |
故数列{an}项数n不为偶数.
解法1:设数列{an}项数n=2k+1(k∈N),
则S′=a1+a3+…+a2k+1=
a1+a2k+1 |
2 |
S″=a2+a4+a6+…+a2k=
a2+a2k |
2 |
∵a1+a2k+1=a2+a2k,
∴
S′ |
S″ |
k+1 |
k |
36 |
27 |
解得k=3,项数n=2×3+1=7,
∵S7=S′+S″=63=7a1+
7×6 |
2 |
∴a1+3d=9,
∵a1=9-3d>0,
∴d<3.又d∈N*,所以,d=1或d=2.
当d=1时,a1=6,此时,an=6+(n-1)•1=n+5,
所以,该数列为:6,7,8,9,10,11,12.
当d=2时,a1=3,此时,an=3+(n-1)•2=2n+1
所以,该数列为:3,5,7,9,11,13,15.
解法2:
|
|
解得k=3,项数n=2×3+1=7,
∵S7=S′+S″=63=7a1+
7×6 |
2 |
∴a1+3d=9,∵a1=9-3d>0,
∴d<3.又d∈N*,所以,d=1或d=2.
当d=1时,a1=6,此时,an=6+(n-1)•1=n+5,
所以,该数列为:6,7,8,9,10,11,12.
当d=2时,a1=3,此时,an=3+(n-1)•2=2n+1
所以,该数列为:3,5,7,9,11,13,15.
点评:本题主要考查等差数列的奇数项的和S′与偶数项的和S∥的公式,以及无穷等比数列的所有项和的S=
,对学生的能力要求比较高,有一定的难度.
a1 |
1-q |
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