题目内容

18.已知:$\overrightarrow{a}$=(2sinx,2cosx),$\overrightarrow{b}$=(cosx,-cosx),f(x)=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$.
(1)若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线,且x∈($\frac{π}{2}$,π),求x的值;
(2)求函数f(x)的周期;
(3)若对任意x∈[0,$\frac{π}{2}$]不等式m-2≤f(x)≤m+$\sqrt{2}$恒成立,求实数m的取值范围.

分析 (1)运用共线的向量的性质得出$\frac{2sinx}{cosx}$=$\frac{2cosx}{-cosx}$即tanx=-1,结合x∈($\frac{π}{2}$,π),求解x的值.
(2)化简得出f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$)-1,根据三角函数的性质得出周期,T═$\frac{2π}{|ω|}$
(3)根据x的范围得出$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin(2x-$\frac{π}{4}$)≤1,确定-2$≤f(x)≤\sqrt{2}-1$,利用最大值,最小值问题求解得出只需$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-2}\\{m+\sqrt{2}≥\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$  成立即可.

解答 解:(1)∵x∈($\frac{π}{2}$,π),∴cosx≠0
又∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线∴$\frac{2sinx}{cosx}$=$\frac{2cosx}{-cosx}$即tanx=-1  
∵x∈($\frac{π}{2}$,π),∴x=$π-\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$;        
(2)f(x)=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1         
=$\sqrt{2}$(sin2x$•\frac{\sqrt{2}}{2}$-cos2x$•\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\sqrt{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$)-1     
故函数f(x)的周期T=$\frac{2π}{2}$=π 
(3)∵0$≤x≤\frac{π}{2}$   
∴$-\frac{π}{4}$$≤2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$  
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin(2x-$\frac{π}{4}$)≤1 
∴-2$≤\sqrt{2}sin(2x-\frac{π}{4})$-1$≤\sqrt{2}-1$,
即-2$≤f(x)≤\sqrt{2}-1$     
要使不等式m-2≤f(x)$≤m+\sqrt{2}$,
对任意x$∈[0,\frac{π}{2}$]上恒成立,
必须且只需$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-2}\\{m+\sqrt{2}≥\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$,
即-1≤m≤0.

点评 本题综合考察了三角函数的性质,考察了平面向量的运用,不等式恒成立问题,属于中档题.

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