题目内容

已知函数f(x)=
1
2x+
2
，
（I）求值：f（1）+f（2），f（-1）+f（2）；
（II）由（I）的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
分析：分析：（I）先把 f(x)=
1
2x+
2
中的x都换成1或2或-1，得到f（1），f（2），f（-1），然后进行整理能得出f（1）+f（2），f（-1）+f（2）；
（II）由 （1）知x∈R，f(x)+f(1-x)=
2
2
，利用函数f(x)=
1
2x+
2
进行计算，从而得到结果．
解答：解：（I）f(0)+f(1)=
2
2
，f(-1)+f(2)=
2
2
；…（3分）
（II）任意x∈R，f(x)+f(1-x)=
2
2
．…（5分）
证明：x∈R，f(x)+f(1-x)=
1
2x+
2
+
1
21-x+
2
=
1
2x+
2
+
2x
2+
2
•2x
=
1
2x+
2
+
2x
(
2
+2x)
2
=
1
2x+
2
•
2
+2x
2
=
2
2
…（8分）
点评：点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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