题目内容

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量 $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，cos（π-A）-1）， $数学公式$ =（2cos（ $数学公式$ -A），2sin $数学公式$ ），且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$
（1）求角A的大小．
（2）设f（x）=cos²x+2sinAsinxcosx，求f（x）的最小正周期，求当 x $数学公式$ 时f（x）的值域．

解：∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，（1分）
∴cos $\text{[math]}$ •2cos（ $\text{[math]}$ ）+[cos（π-A）-1]•2sin $\text{[math]}$ =0，（2分）
2sinAcos $\text{[math]}$ -2cosAsin $\text{[math]}$ -1=0，（3分）
2sin（A- $\text{[math]}$ ）=1，
∴sin（A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．（4分）
∵0＜A＜π，
∴- $\text{[math]}$ ＜A- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，（5分）
∴A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴A= $\text{[math]}$ ，（6分）
（2）f（x）=cos²x+2sinA•sinxcosx
= $\text{[math]}$ （7分）
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．（8分）
∴T=π，（10分）
∵x $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：由 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =0，所以2sinAcos $\text{[math]}$ -2cosAsin $\text{[math]}$ -1=0，由和（差）角公式得到sin（A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，由此能求出角A的大小．
（2）先由二倍解公式把f（x）=cos²x+2sinAsinxcosx等价转化为f（x）= $\text{[math]}$ ，再由和（差）角公式进一步转化为f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由此能求出f（x）的最小正周期和当 x $\text{[math]}$ 时f（x）的值域．
点评：本题考查平面向量的综合运用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意二倍角公式、和（差）角公式和三角函数恒等变换的合理运用．