Question

设数列的首项，前项和为，且，，成等差数列，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足：，记数列的前项和为，求及数列的最大项.

Answer 1

（1）；（2），最大项是.

试题分析：（1）根据题意可知，考虑到当时，，因此可以结合条件消去得到数列的地推公式：当时，，
∴，∴，容易验证当时，上述关系式也成立，从而数列是首项为1，公比为2的等比数列，即有；（2）根据（1）中求得的通项公式，结合条件，因此可以考虑采用裂项相消法来求其前项和：

     ，利用作差法来考察数列的单调性，可知当时，，即；当时，也有，但；当时，，，即，因此最大项即为.
试题解析：（1）由、、成等差数列知，                1分
当时，，∴，
∴，                             4分
当时，由得，                        5分
综上知，对任何,都有,又，∴，.     6分
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴；          7分
(2)，    10分
     ，                      12分
，
当时，，即；当时，也有，但；当时，，，即，∴数列的的最大项是.                                   15分