Question

6．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且满足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）
（1）求证：tan（α+β）=2tanα；
（2）求证：tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$；
（3）将tanβ表示成tanα的函数关系式，并求tanβ取到最大值时，tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）可得：$\frac{sin[（α+β）-α]}{sinα}$=cos（α+β），利用两角差的正弦公式展开整理后，弦化切可得答案；
（2）由$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）可得：$\frac{sinβ}{sinα}$=cosαcosβ-sinαsinβ，利用同角三角函数的基本关系公式对式子化简变形，可得答案；
（3）由（2）中结论弦化切后，可将tanβ表示成tanα的函数关系式，进而利用基本不等式和（1）中结论，得到tanβ取到最大值时，tan（α+β）的值．

解答 证明：（1）∵$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）
∴$\frac{sin[（α+β）-α]}{sinα}$=cos（α+β）
∴sin[（α+β）-α]=sinαcos（α+β）
∴sin（α+β）cosα-sinαcos（α+β）=sinαcos（α+β）
∴sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）
即tan（α+β）=2tanα；
（2）∵$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）
∴$\frac{sinβ}{sinα}$=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，
∴tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ
∴sinαcosα=（1+sin²α）tanβ
∴tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$；
解：（3）由（2）得：tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{sinαcosα}{2si{n}^{2}α+{cos}^{2}α}$=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanα∈（0，+∞），
由tanβ=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2tanα+\frac{1}{tanα}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
可得：当tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，tanβ取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
此时tan（α+β）=2tanα=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式和斜弦公式，基本不等式，是三角函数与不等式的综合应用，难度中档．