Question

14．如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，PA⊥平面PBC，且PO⊥平面ABC于点O，证明：O是△ABC的垂心．

Answer 1

分析 PA⊥面PBC，进而得到PA⊥BC，由PO⊥平面ABC于O，BC?面ABC，可得PO⊥BC，故BC⊥平面APD，从而有AD?面APD，即可得BC⊥AD；同理可以证明CO⊥AB，又BO⊥AC．即可证明O是△ABC的垂心．

解答 证明：连接AO并延长交BC于一点D，连接PD，
由于PA⊥面PBC，而BC?面PBC，
∴BC⊥PA，
∵P0⊥平面ABC于O，BC?面ABC，
∴PO⊥BC，
∴BC⊥平面APD，
∵AD?面APD，
∴BC⊥AD；
同理可以证明CO⊥AB，又B0⊥AC．
∴0是△ABC的垂心．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明法：利用判定定理证明；以及解三角形的有关理论，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．