题目内容
16.已知函数f(x)=cos2x-2asinx-a(a∈R).(1)若函数为偶函数,求a的值;
(2)若函数的最大值为g(a),当方程g(x)=kx有1个根时,求k的取值范围.
分析 (1)若函数为偶函数,则f(-x)=f(x),进而可得a的值;
(2)求出g(a)的解析式,并在同一坐标系中画出函数y=g(x)与y=kx的图象,分析两个函数图象有一个交点时,k的范围,可得答案.
解答 解:(1)∵函数f(x)=cos2x-2asinx-a为偶函数,
∴f(-x)=cos2(-x)-2asin(-x)-a=f(x)=cos2x+2asinx-a,
解得:a=0,
(2)∵函数f(x)=cos2x-2asinx-a=(1-sin2x)-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1,
若-a≥1,即a≤-1,当sinx=1时,g(a)=-3a,
当-1<-a<1,即-1<a<1,当sinx=-a时,g(a)=a2-a+1,
若-a≤-1,即a≥1,当sinx=-1时,g(a)=a,
故函数g(x)的图象如下图所示:
由图可知:当k∈(-∞,-3)∪(1,+∞)时,函数y=g(x)与y=kx的图象有一个交点,即方程g(x)=kx有1个根,
故k的取值范围为:(-∞,-3)∪(1,+∞)
点评 本题考查的知识点是三角函数的最值,函数的奇偶性,方程根的个数与函数零点的关系,难度中档.
练习册系列答案
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