Question

1．已知数列{a_n}满足a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，且a₁=2．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）求证：2nⁿ≤a${\;}_{n}^{n}$＜3nⁿ．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，且a₁=2，分别令 n=2，3，4即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可；
（2）由（1）可得a_n=n+1，从而有${{a}_{n}}^{n}$=（n+1）ⁿ，利用二项式定理展开式以及构造函数，利用单调性证明．

解答 解：（1）由已知a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，且a₁=2．得到a₂=${{a}_{1}}^{2}$-a₁+1=3，a₃=${{a}_{2}}^{2}$-2a₂+1=4，a₄=${{a}_{3}}^{2}$-3a₃+1=5；
由此猜测数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1；
证明：①n=1，2，3，4显然成立；
②假设n=k时成立，即a_k=k+1，则n=k+1时，a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1；
所以n=k+1时，数列a_n=n+1也成立；
所以数列{a_n}的通项公式a_n=n+1对任意n∈N₊都成立；
（2）因为a_n=n+1，所以${{a}_{n}}^{n}$=（n+1）ⁿ=${C}_{n}^{0}{n}^{n}+{C}_{n}^{1}{n}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{n}^{n-2}+…{C}_{n}^{n}$＞${C}_{n}^{0}{n}^{n}+{C}_{n}^{1}{n}^{n-1}$=2nⁿ；
构造函数f（x）=（1+$\frac{1}{x}$）^x，则f′（x）=（1+$\frac{1}{x}$）^xln（1+$\frac{1}{x}$）（-$\frac{1}{{x}^{2}}$）＜0，所以函数f（x）为减函数，又x≥1，所以f（x）≤f（1）=2＜3，所以$（\frac{n+1}{n}）^{n}$=$（1+\frac{1}{n}）^{n}$＜3，
即（n+1）ⁿ＜3nⁿ；
所以2nⁿ≤a${\;}_{n}^{n}$＜3nⁿ．

点评 本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项综合的应用及归纳法的应用，解答（2）左边的关键是二项展开式的应用，右边是构造函数法．