题目内容
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，M为AA1的中点，N为A1B1上的点，且满足
A1N=
NB1，P为底面正方形A1B1C1D1的中心.求证：MN⊥MC，MP⊥B1C.
A1N=NB1，P为底面正方形A1B1C1D1的中心.求证：MN⊥MC，MP⊥B1C.证明略
设
=a，
=b，
=c
则a、b、c两两垂直且模相等.
∴a·b=b·c=a·c=0，
又∵
=NB1
∴
=
=b，
=
+=
a+b,
=
++
=-a+b+c,
∴·=（a+b）·（b+c-a）
=
-
=0.
∴MN⊥MC，
又
=+
=
+（b+c）=（a+b+c），
=
+=-a+c.
∴·=（a+b+c）（c-a）=0.∴MP⊥B1C.
=a，=b，=c则a、b、c两两垂直且模相等.
∴a·b=b·c=a·c=0，
又∵
=NB1∴
==b，=+=a+b,=++=-a+b+c,∴
·=（a+b）·（b+c-a）=
- =0.∴MN⊥MC，
又
=+ =+（b+c）=（a+b+c），=+=-a+c.∴
·=（a+b+c）（c-a）=0.∴MP⊥B1C.
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，可构成空间向量的一个基底，若
，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算
，显然
的结果仍为一向量，记作
．
的法向量；
为边的平行四边形
的面积等于
；
平移，得到一个平行六面体
，试判断平行六面体的体积
与
的大小．
，底面
为矩形，侧棱
，其中
，
为侧棱
上的两个三等分点，如下图所示．
；
与
所成角的余弦值；
的余弦值．
，试问是否存在实数
，使
成立？如果存在，求出
中，若
则
（ ）
，则这两个向量的位置关系是___________。