Question

四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,PB⊥AC,E为PD中点.

(1)求证:PB∥平面AEC;

(2)求二面角E-A-C-D的大小.

Answer 1

解:(1)证明:连BD交AC于点O,连结OE,

∵E为PD中点,O为BD中点,

∴OE∥PB.

∵OE平面AEC,PB平面AEC,

∴PB∥平面AEC.

(2)设CD=a,AD=b,

过P作PH⊥CD,垂足为H,连结BH,

∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD.

∵PB⊥AC,∴BH⊥AC.

取HD中点G,连结EG、OG,则EGPH,OGBH,

∴OG⊥AC.

∵PB∥EO,PB⊥AC,∴EO⊥AC.

∴∠EOG为二面角EACD的平面角.

∵BH⊥AC,∴∠BHC=∠ACB.

∴.∴,a=b.

EG=PH=b,EO=b,

∴sin∠EOG=∴∠EOG=.

∴二面角E-AC-D的大小为.