Question

15．在△ABC中，已知tanAtanB=$\frac{4}{3}$，
（1）求tanC的取值范围；
（2）若△ABC边AB上的高CD=2．求△ABC面积S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正切函数以及基本不等式化简求解tanC的取值范围．
（2）利用已知条件表示出三角形的面积，然后求解最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，已知tanAtanB=$\frac{4}{3}$，tanA＞0，tanB＞0
tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=3（tanA+tanB）≥$6\sqrt{tanAtanB}$=4$\sqrt{3}$，
当且仅当tanA=tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，取等号．
tanC的取值范围：[4$\sqrt{3}，+∞$）．
（2）△ABC边AB上的高CD=2．
可得三角锥的面积为：$\frac{1}{2}×AB×CD$=$\frac{1}{2}×（\frac{2}{tanA}+\frac{2}{tanB}）×2$
=$\frac{2（tanA+tanB）}{tanAtanB}$=$\frac{3（tanA+tanB）}{2}$≥$\frac{3×2\sqrt{tanAtanB}}{2}$=2$\sqrt{3}$．当且仅当tanA=tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，取等号．
三角形面积的最小值为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的解法与应用，考查计算能力，基本不等式的应用．