题目内容
8.已知函数f(x)=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin(ωx+$\frac{π}{2}$)(ω>0)的最小正周期为π.当f(α)=1时,求cos($\frac{4}{3}$π-4α)的值.分析 首先通过三角函数的恒等变换,把函数的关系式变性成正弦型函数,进一步利用函数的周期确定函数的解析式,进一步利用函数的角的恒等变换求出函数的值.
解答 解:已知函数f(x)=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin(ωx+$\frac{π}{2}$)
=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{\sqrt{3}sin2ωx}{2}$
=$sin(2ωx-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}$
已知函数的最小正周期为π.
所以:$T=\frac{2π}{2ω}=π$,
解得:ω=1.
所以:f(x)=$sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}$.
当f(α)=1时,
则:$sin(2α-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$.
cos($\frac{4}{3}$π-4α)=-cos($\frac{π}{3}-4α$)
=-1+$2{sin}^{2}(\frac{π}{6}-2α)$
=-$\frac{1}{2}$
点评 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的解析式的确定,利用函数的角的恒等变换求函数的值.主要考查学生的应用能力.
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