题目内容

(本小题满分12分)甲有一个装有个红球、个黑球的箱子,乙有一个装有个红球、个黑球的箱子,两人各自从自己的箱子里任取一球,并约定:所取两球同色时甲胜,异色时乙胜().
(Ⅰ)当,时,求甲获胜的概率;
(Ⅱ)当时,规定:甲取红球获胜得3分;取黑球获胜得1分;甲负得0分.求甲的得分期望达到最大时的值;
(Ⅲ)当时,这个游戏规则公平吗?请说明理由.
解:(Ⅰ)由题意,甲、乙都取红球的概率,
甲、乙都取黑球的概率,∴甲获胜的概.……… 3分
(Ⅱ)令表示甲的分数,则的取值为0,1,3,

0
1
3




的分布列如下:
于是
,∴,且
故当时,的最大值为.              ……………………………… 7分
(Ⅲ)由题意,两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有 种不同情形,
每种情形都是等可能的,记甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,则

时,,甲、乙获胜的概率相等,这个游戏规则是公平的;
时,,甲获胜的概率大于乙获胜的概率,这个游戏规则不公平,有利于甲.
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