Question

7．对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=1+$\frac{t-1}{{e}^{x}+1}$是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t-1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数t 的取值范围．

解答 解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于?a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）=1+$\frac{t-1}{{e}^{x}+1}$，
①当t-1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t-1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t-1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2．
③当t-1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥$\frac{1}{2}$．
综上可得，$\frac{1}{2}$≤t≤2，
故实数t的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．