Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（1）若函数h(x)=

f′(x)

x

为奇函数，求a的值；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；
（3）若a≥0，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则和函数的奇偶性即可得出；
（2）利用导数研究函数的单调性极值即可得出；
（3）对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
∴h(x)=

x2-(2a+1)x+(a2+a)

x

．
∵h（x）为奇函数，
∴f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）为偶函数，即2a+1=0，
∴a=-

1

2

．
（2）∵f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f'（x）=0，得x₁=a+1，x₂=a，
∴f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）f	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴a=1．
（3）∵a＞-1，∴a+1＞0，
当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，
∴当x=1时，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
当0＜a＜1时，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（a，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=a时，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
当a=0时，在x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
综上所述，当a≥1时，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
当0≤a＜1时，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、分类讨论、函数的奇偶性等基础知识与基本技能方法，属于难题．