题目内容

已知tanα=-
1
3
cosβ=
5
5
,α,β∈(0,π)
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求函数f(x)=
2
sin(x-α)+cos(x+β)
的最大值.
分析:(1)先由cosβ求sinβ,进而求tanβ,再利用公式tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
解之;
(2)先由tanα求出sinα、cosα,再利用公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ与cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ化简函数f(x),最后根据-1≤sinx≤1求出f(x)的最大值.
解答:解:(1)由cosβ=
5
5
,β∈(0,π)
sinβ=
2
5
5
,所以tanβ=2,
于是tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
-
1
3
+2
1+
2
3
=1

(2)因为tanα=-
1
3
,α∈(0,π)

所以sinα=
1
10
,cosα=-
3
10
f(x)=-
3
5
5
sinx-
5
5
cosx+
5
5
cosx-
2
5
5
sinx
=-
5
sinx

故f(x)的最大值为
5
点评:本题主要考查两角和与差的三角函数公式.
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