Question

20．已知两定点A（0，-2），B（0，2），点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，且满足|$\overrightarrow{AP}$|-|$\overrightarrow{BP}$|=2，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$为（　　）

• A． -12
• B． 12
• C． -9
• D． 9

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{AP}$|-|$\overrightarrow{BP}$|=2，求出双曲线的方程，将两曲线的方程联立方程组可解得x²=9，y²=4，代入$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x，y+2）（x，y-2）=x²+y²-4进行运算得答案．

解答 解：由|$\overrightarrow{AP}$|-|$\overrightarrow{BP}$|=2，可得点P（x，y）的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的上支，且2a=2，c=2，∴b=$\sqrt{3}$，
∴P的轨迹方程为${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{3}=1（y＞0）$，
把$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1和${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$联立可解得：x²=9，y²=4，
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x，y+2）（x，y-2）=x²+y²-4=9+4-4=9．
故选：D．

点评 本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求两曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题．