Question

已知函数f (x)=a^x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．
（1）求；（注意：指数为x+2）
（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；
（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．

Answer 1

（1）=log_a(x+1)-2(x>-1)．（2）或．
（3）满足条件的x的取值范围为．

本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题
（1）由y="f" （x）=a^x+2-1，求得x=log_a（y+1）-2，即可得f^-1（x）；
（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；
（3）由题意可得 转化为不等式x²≤a³+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。