Question

16．A和B是两家手机公司，B在技术上侵了A的权，因此，A向B方案赔，在B不赔付A的情况下，B的利润x（元）与生产量t（部）满足函数关系x=2000$\sqrt{t}$，若B每生产一部手机须赔付A s元（以下称s为赔付价格）．
（1）实施赔付方案后，试将B的利润W（元）表示为生产量t（部）的函数，并求出B获得最大利润的生产量（赔付后实际利润=赔付前的利润-赔付款总额）；
（2）A受B方销售影响的经济损失金额y=0.002t²（元），在B按照获得最大利润的生产量进行生产的前提下，A要在索赔中获得最大净收入，应向B要求的赔付价格s是多少？（净收入=赔付款总额-经济损失金额）．

Answer 1

分析 （1）由已知中赔付价格为s元/吨部，所以B方的实际年利润为W=2000$\sqrt{t}$-st．我们利用导数法易求出B方取得最大年利润的年产量；
（2）由已知得，若A方净收入为v元，则v=st-0.002t²．再由x=2000$\sqrt{t}$，我们可以得到A方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式，利用导数法，我们易求出答案．

解答 解：（1）因为赔付价格为s元/部，所以B方的实际年利润为W=2000$\sqrt{t}$-st．
由W′=$\frac{1000-s\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$，
令W′=0，得t=t₀=$（\frac{1000}{s}）^{2}$．
当t＜t₀时，W′＞0；当t＞t₀时，W′＜0，
所以t=t₀时，W取得最大值．
因此B方取得最大年利润的年产量t₀=$（\frac{1000}{s}）^{2}$（部）；
（2）设A方净收入为v元，则v=st-0.002t²．
将t=$（\frac{1000}{s}）^{2}$代入上式，得到A方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v=$\frac{1{0}^{6}}{s}-\frac{2}{{s}^{4}}×1{0}^{9}$．
又v′=$\frac{1{0}^{6}×（8000-{s}^{3}）}{{s}^{5}}$，
令v'=0，得s=20．
当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，
所以s=20时，v取得最大值．
因此A方应向B方要求赔付价格s=20（元/部）时，获最大净收入

点评 函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．