Question

设f(x)=

3-x f(x-1)

(x≤0) (x＞0)

，若f（x）=x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，1]
• C、（-∞，2]
• D、（-∞，2）

Answer 1

分析：要求满足条件关于x的方程f（x）+x-a=0有三个实根时，实数a的取值范围，我们可以转化求函数y=f（x）与函数y=x+a的图象有三个交点时实数a的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察法可得出a的取值范围．

解答：解：函数 f(x)=

3-x    (x≤0) f(x)    (x＞0)

的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）

由图可知：
（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；
（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；
（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；
即当a＜2时，f（x）=x+a有三个实解
故选D

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，根据方程的根即为对应函数零点，将本题转化为求函数零点个数，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键．