Question

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=

2

|MD|，点A、F₁的坐标分别为（0，

2

），（-1，0）．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）确定M、P坐标之间的关系，利用P是圆x²+y²=2上的动点，即可求轨迹；
（2）由（1）知，M的轨迹方程是椭圆，F₁是左焦点，设右焦点为F₂，利用|MA|+|MF₁|=2

2

+|MA|-|MF₂|≤2

2

+|AF₂|=2

2

+

3

，即可求得结论．

解答：解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_p，y_p）
∵PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=

2

|MD|，
∴x_p=x，y_p=

2

y 
∵P是圆x²+y²=2上的动点，
∴x²+2y²=2；
（2）由（1）知，M的轨迹方程是椭圆，F₁是左焦点，设右焦点为F₂，坐标为（1，0）
∴|MA|+|MF₁|=2

2

+|MA|-|MF₂|≤2

2

+|AF₂|=2

2

+

3

当A，F₂，M三点共线，且M在AF₂延长线上时，取等号
直线AF₂的方程为x+

y

2

=1，与椭圆方程联立，解得x=

4+ 6

5

，y=

2 -2 3

5

∴所求最大值为2

2

+

3

，此时M的坐标为（

4+ 6

5

，

2 -2 3

5

）．

点评：本题考查利用相关点法求动点的轨迹方程，考查最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．