Question

如图，设椭圆C：（a＞b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过 A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：相切，过定点 M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）。

（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁的斜率k>0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由；
（3）若实数λ满足，求λ的取值范围。

Answer 1

解：（1）因为
所以F₁为F₂Q中点
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF₂，
所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，且过A，Q，F₂三点的圆的圆心为F₁（-c，0），半径为2c
因为该圆与直线l相切，
所以
解得c=1，
所以a=2，
故所求椭圆方程为。
（2）设l₁的方程为y=kx+2（k>0）
由得（3+4k²）x²+16kx+4=0
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则
所以（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）
（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））
由于菱形对角线互相垂直，因此
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0
因为k>0，
所以x₂-x₁≠0
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0
所以
解得
即
因为k>0，
所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是。
（3）①当直线l₁斜率存在时，
设直线l₁方程为y=kx+2，代入椭圆方程
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
由△>0，得
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则
又，
所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）
所以x₁=λx₂
所以
所以
所以
整理得
因为，
所以，即
所以
解得
又0＜λ＜1，
所以7-4＜λ＜1。
②当直线l₁斜率不存在时，直线l₁的方程为x=0，
此时，，，
所以
所以，
即所求λ的取值范围是。