题目内容

设椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）过点 $数学公式$ ，且离心率 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的动直线AB交椭圆于点M、N，（其中点N位于点A、B之间），且交直线l：x=8于点B（如图）．证明： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）　由已知，得　 $\text{[math]}$ ，故可设所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，
将点 $\text{[math]}$ 的坐标代入上式，得　m=1．
∴所求椭圆C的方程为： $\text{[math]}$ ；（5分）
（Ⅱ）　设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
要证原等式成立，只要证 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．①（8分）
以下证明①式成立．
证明：设MB：y=k（x-2），由 $\text{[math]}$ ?（9+16k²）x²-64k²x+64k²-144=0
由韦达定理，得　 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（11分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
于是，①式得证．
∴ $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（Ⅰ）由已知，得 $\text{[math]}$ ，故可设所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，将点 $\text{[math]}$ 的坐标代入上式，得m=1．由此得到所求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），要证原等式成立，只要证 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．
点评：本题考查椭圆方程的求法和证明 $\text{[math]}$ ．解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用和分析法证明的灵活运用．