题目内容

设函数y=f（x）=ax3+bx2+cx+d图象与y轴的交点为P，且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0，若函数在x=2处取得极值-16，试求函数解析式，并确定函数的单调递减区间．
分析：要确定解析式，即求a，b，c，d这四个参数，由f′（0）=c，且切线24x+y-12=0可解得c，把x=0代入24x+y-12=0可得P点的坐标为解d，再由函数f（x）在x=2处取得极值-16，解得a，b，从而求得解析式，然后由导数的正负来求单调区间．
解答：解：由y′=3ax2+2bx+c?f′（0）=c，
∵切线24x+y-12=0的斜率k=-24，
∴c=-24，把x=0代入24x+y-12=0得y=12．
得P点的坐标为（0，12），由此得d=12，
f（x）即可写成f（x）=ax3+bx2-24x+12．
由函数f（x）在x=2处取得极值-16，
则得
-16=8a+4b-36
0=12a+4b-24
解得
a=1
b=3.

∴f（x）=x3+3x2-24x+12，f′（x）=3x2+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2．
∴递减区间为（-4，2）．
点评：本题主要考查了函数的极值点，导数的几何意义以及用导数法研究函数的单调性及求函数的单调区间，属中档题．
练习册系列答案
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13、设函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），且函数y=x-f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f-1（x）-x的图象一定过点
（-1，2）
．
设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（
19
）的值；
（2）证明：f（x）在R+上是减函数；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
设函数y=f（x）的导函数是y=f′（x），称εyx=f′(x)•
x
y
为函数f（x）的弹性函数．
函数f（x）=2e3x弹性函数为
3x
3x
；若函数f1（x）与f2（x）的弹性函数分别为εf 1x与εf 2x，则y=f1（x）+f2（x）（f1（x）+f2（x）≠0）的弹性函数为
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
．
（用εf 1x，εf 2x，f1（x）与f2（x）表示）
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k，f(x)＞k
，取函数f（x）=2-x-e-x，若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），则K的最小值为
1
1
．
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函数f（x）=2+x+e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）

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