Question

8．已知六边形ABCDEF的三对对边都互相平行，并且$\overrightarrow{FC}$=2$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{DE}$，又设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{β}$，求$\overrightarrow{CE}$和$\overrightarrow{CD}$．

Answer 1

分析 画出六边形，根据条件知AB∥DE，且AB=DE，且AB∥FC，FC=2AB，从而四边形ABDE为平行四边形，连接对角线，交点O应在FC上．结合图形即可看出：$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BA}$，从而可以得出$\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}$，而由$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}$即可表示出$\overrightarrow{CD}$．

解答 解：如图，根据$\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DE}$知，AB∥DE，AB=DE，AB∥FC，FC=2AB；
∴四边形ABDE为平行四边形，连接AD，BE，设交于O；
则O点在线段FC上；
∴$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$=$-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}$；
∴$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}=-2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}+\overrightarrow{α}$=$-\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}$．

点评 考查向量相等的概念，向量数乘的几何意义，平行四边形的定义，平行四边形的对角线互相平分，以及向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义．