Question

6．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M为面A′B′C′D′的任意一点，那么∠MAA′＜30°的概率为$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 本题是几何概型问题，设棱长为3，∠MAA′＜30°表示以A₁为圆心，$\sqrt{3}$为半径的$\frac{1}{4}$圆面，其面积为$\frac{3π}{4}$，求出正方形A′B′C′D′的面积为9，即可求出∠MAA'＜30°的概率．

解答 解：设棱长为3，则∠MAA′=30°时，MA′=$\sqrt{3}$，
∴∠MAA′＜30°表示以A′为圆心，$\sqrt{3}$为半径的$\frac{1}{4}$圆面，其面积为$\frac{3π}{4}$，如图，
∵正方形A′B′C′D′的面积为9，
∴∠MAA′＜30°的概率P=$\frac{\frac{3π}{4}}{9}=\frac{π}{12}$；
故答案为：$\frac{π}{12}$．

点评 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于中档题．