Question

19．设a，b为正实数，则$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{a+b}$的最小值为2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值

解答 解：$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}+2ab+2{b}^{2}}{{a}^{2}+3ab+2{b}^{2}}$=1-$\frac{ab}{{a}^{2}+3ab+2{b}^{2}}$=1-$\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}+3}$，
∵a，b为正实数，
∴$\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{2b}{a}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$b时取等号，
∴$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{a+b}$≥1-$\frac{1}{2\sqrt{2}+3}$=1-（3-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
故$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{a+b}$的最小值为：$2\sqrt{2}-2$，
故答案为：2$\sqrt{2}$-2

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．