Question

1．若函数f（x）为奇函数且在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，则不等式子$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集是（-3，0）∪（0，3）．

Answer 1

分析 根据函数为奇函数求出f（3）=0，再将不等式化为$\frac{f（x）}{x}$＜0，分成两类加以讨论，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．

解答 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（3）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即有f（-3）=-f（3）=0，在（-∞，0）内是增函数．
∴$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0，即为$\frac{f（x）}{x}$＜0，
则$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0=f（3）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0=f（-3）}\end{array}\right.$，
根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数，
解得：x∈（-3，0）∪（0，3）
故答案为：（-3，0）∪（0，3）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于中档题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．