题目内容
(2011•花都区模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3),N(5,1),若动点C满足
=t
且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.
(1)求证:
⊥
;
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0),使得过点P的直线l交抛物线y2=4x于D,E两点,并以线段DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心M的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
NC |
NM |
(1)求证:
OA |
OB |
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0),使得过点P的直线l交抛物线y2=4x于D,E两点,并以线段DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心M的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)欲证两向量垂直,通过向量的坐标运算,就是证明它们的数量积为0,将直线与抛物线的方程组成方程组,利用设而不求的方法求解;
(2)对于存在性问题,可设假设存在,本题中将垂直关系合理转化,找出m的一个相等关系,从而解出了m的值,即说明存在.
(2)对于存在性问题,可设假设存在,本题中将垂直关系合理转化,找出m的一个相等关系,从而解出了m的值,即说明存在.
解答:解:(1)由动点C满足
=t
,知点C的轨迹是M、N两点所在的直线,
又因为直线MN的方程为x-y-4=0
∴点C的轨迹方程为x-y-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
由
得:
x2-12x+16=0
∴x1•x2=16,x1+x2=12
又y1•y2=(x1-4)•(x2-4)=-16
∴x1•x2+y1•y2=0
∴
⊥
;
(2)假设存在P(m,0)(m≠0),使得过点P的直线l交抛物线y2=4x 于D,E两点,并以线段DE为直径的圆都过原点,
由题意知:弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为:x=ky+m,
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,设D(x1,y1),E(x2,y2)
∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.
若以弦DE为直径的圆都过原点,则OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.
即
+
+y1y2=m2-4m,解得m=0 (不合题意,舍去)或 m=4.
∴存在点P(4,0),使得过P点任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.
设弦D,E的中点为M(x,y)
则x=
(x1+x2),y=
( y1+y2)=2k,
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,
∴x=2k2+4,y=2k,
∴消去k得弦D,E的中点M的轨迹方程为:y2=2x-8.
∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8.
NC |
NM |
又因为直线MN的方程为x-y-4=0
∴点C的轨迹方程为x-y-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
由
|
x2-12x+16=0
∴x1•x2=16,x1+x2=12
又y1•y2=(x1-4)•(x2-4)=-16
∴x1•x2+y1•y2=0
∴
OA |
OB |
(2)假设存在P(m,0)(m≠0),使得过点P的直线l交抛物线y2=4x 于D,E两点,并以线段DE为直径的圆都过原点,
由题意知:弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为:x=ky+m,
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,设D(x1,y1),E(x2,y2)
∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.
若以弦DE为直径的圆都过原点,则OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.
即
| ||
4 |
| ||
4 |
∴存在点P(4,0),使得过P点任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.
设弦D,E的中点为M(x,y)
则x=
1 |
2 |
1 |
2 |
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,
∴x=2k2+4,y=2k,
∴消去k得弦D,E的中点M的轨迹方程为:y2=2x-8.
∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题及存在性问题.对于存在判断型问题,解题的策略一般为先假设存在,然后转化为“封闭型”问题求解判断,若不出现矛盾,则肯定存在;若出现矛盾,则否定存在.这是一种最常用也是最基本的方法,解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.

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