题目内容

(2011•花都区模拟)等差数列{an} 中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列 {bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q=
S2
b2

(1)求an与bn
(2)求数列{
1
Sn
}的前n项和.
分析:(1)根据b2+S2=12,{bn}的公比q=
S2
b2
,建立方程组,即可求出an与bn
(2)对通项化简,利用裂项法求和,即可得到数列{
1
Sn
}的前n项和.
解答:解:(1)由已知得b2=b1q=q,所以有
q+3+a2=12
q=
3+a2
q
,(3分)
解方程组得,q=3或q=-4(舍去),a2=6(5分)
∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1 (7分)
(2)∵Sn=
n(3+3n)
2
,∴
1
Sn
=
2
n(3+3n)
=
2
3
(
1
n
-
1
n+1
)
(10分)
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
2
3
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)
=
2
3
(1-
1
n+1
)=
2n
3n+3
 (14分)
点评:本题考查数列的通项与求和,考查等差数列与等比数列的综合,考查裂项法求数列的和,属于中档题.
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