题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（II）若数列{a_n}的公比q=f（t），数列{b_n}满足b₁=a₁，bn+1= $数学公式$ f（b_n），求数列{ $数学公式$ }的通项公式；
（III）设t= $数学公式$ ，对（II）中的数列{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个 $数学公式$ （k∈N^*）后，得到一个新的数列：a₁， $数学公式$ ，a₂， $数学公式$ ， $数学公式$ ，a₃， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，a₄…，记此数列为{c_n}．求数列{c_n}的前50项之和．

（Ⅰ）证明：由题设知（t-1）S₁=2ta₁-t-1，解得a₁=1，
由（t-1）S_n=2ta_n-t-1，得（t-1）S_n+1=2ta_n+1-t-1，
两式相减得（t-1）a_n+1=2ta_n+1-2ta_n，
∴ $\text{[math]}$ （常数）．
∴数列{a_n}是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵q=f （t）= $\text{[math]}$ ，b₁=a₁=1，b_n+1= $\text{[math]}$ f （b_n）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1，
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ ．…（8分）
（III）解：当t= $\text{[math]}$ 时，由（I）知a_n= $\text{[math]}$ ，于是数列{c_n}为：1，-1， $\text{[math]}$ ，2，2， $\text{[math]}$ ，-3，-3，-3， $\text{[math]}$ ，…
设数列{a_n}的第k项是数列{c_n}的第m_k项，即a_k= $\text{[math]}$ ，
当k≥2时，m_k=k+[1+2+3+…+（k-1）]= $\text{[math]}$ ，
∴m₉= $\text{[math]}$ -45．
设S_n表示数列{c_n}的前n项和，则S₄₅=[1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]+[-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8]．
∵1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8=-1+2²-3²+4²-5²+6²-7²+8²
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S₄₅=2- $\text{[math]}$ +36=38- $\text{[math]}$ ．
∴S₅₀=S₄₅+（c₄₆+c₄₇+c₄₈+c₄₉+c₅₀）=38- $\text{[math]}$ +5×（-1）⁹×9=-7 $\text{[math]}$ ．
即数列{c_n}的前50项之和为-7 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a_n}是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列；
（Ⅱ）确定数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{ $\text{[math]}$ }的通项公式；
（III）确定数列{c_n}为：1，-1， $\text{[math]}$ ，2，2， $\text{[math]}$ ，-3，-3，-3， $\text{[math]}$ ，…，再分组求和，即可求得数列{c_n}的前50项之和．
点评：本题考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．