题目内容
10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A、B两点，且$\frac{5}{2}$≤|AF|•|BF|$≤\frac{11}{4}$，求直线l的斜率k的取值范围．分析 设出直线方程，把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件即可得出斜率的取值范围．
解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为F（1，0），
设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
∵直线l过焦点F，∴△＞0，
且x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|FA|=$\sqrt{{{（x}_{1}-1）}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-1|，
同理|FB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x2-1|，
故|FA|•|FB|=（1+k2）|（x1-1）（x2-1）|=（1+k2）|x1x2-（x1+x2）+1|=$\frac{9（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．
由 $\frac{5}{2}$≤|FA|•|FB|$≤\frac{11}{4}$，
∴$\frac{5}{2}≤\frac{9（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}≤\frac{11}{4}$，
解得$\frac{3}{8}$≤k2≤$\frac{3}{2}$．
所以直线l的斜率k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{4}$]∪[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．
点评 熟练掌握椭圆的定义及性质、直线与椭圆的相交问题的解题方法、根与系数的关系、不等式的解法是解题的关键．
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB为正三角形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2，E为PD中点| A． | （-∞，0） | B． | （-$\frac{1}{2}$，1] | C． | （-∞，0）∪[$\frac{1}{2}$，1] | D． | （-$\frac{1}{2}$，0] |
如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C′过点M（2，1），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点F关于直线x-2y=0对称的点在圆x2+y2=4上．
已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过右焦点F的直线l交椭圆与P，Q两点