Question

20．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+$2\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b$\sqrt{2}$=m²+2n²+2mn$\sqrt{2}$．
∴a=m²+2n²，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=m²+3n²，b=2mn．；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+2$\sqrt{3}$=（1+1$\sqrt{3}$）²；
（3）若a+4$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，且a、m、n均为正整数，求a的值？

Answer 1

分析 （1）由a+b$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，展开比较系数可得答案；
（2）取m=1，n=1，可得a和b的值，可得答案；
（3）由题意得m和n的方程，解方程可得m和n，可得a值．

解答 解：（1）∵a+b$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，
∴a+b=m²+3n²+2mn，
∴a=m²+3n²，b=2mn．
故答案为m²+3n²；2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m²+3n²=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1；
（3）由题意得a=m²+3n²，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=2²+3×1²=7，或a=1²+3×2²=13．

点评 本题考查归纳推理，属基础题．