Question

2．在△ABC中，∠B=90°，D、E两点在AB上，且AD=2BE，∠ACD=∠BCE，求线段BE，DE与CE的数量关系．

Answer 1

分析 借助于三角函数的定义构造出关于线段BE，DE，CE的关系式．

解答 解：由题意作图如下：
因为∠ACD=∠ACB-∠DCB，且由已知得$CB=\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}$，
所以$tan∠BCE=\frac{BE}{CB}=\frac{BE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$①，

tan∠DCB=$\frac{DE+EB}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$，tan∠ACB=$\frac{3EB+DE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$．
所以tan∠ACD=tan（∠ACB-∠DCB）=$\frac{tan∠ACB-tan∠DCB}{1+tan∠ACB•tan∠DCB}$
=$\frac{\frac{3EB+DE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}-\frac{DE+EB}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}}{1+\frac{（3EB+DE）（DE+EB）}{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$②．由题意①=②．
代入得：$\frac{\frac{2EB}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}}{\frac{C{E}^{2}-E{B}^{2}+3E{B}^{2}+D{E}^{2}+4EB•DE}{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$=$\frac{BE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$．
化简得CE²-（EB+DE）²=0，所以CE=EB+DE即为所求．

点评 本题考查了三角函数的定义、两角和的正切公式的应用，属于基础题．