题目内容
【题目】已知函数,函数
.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)当时,证明:对一切的
,都有
恒成立;
(Ⅲ)当时,函数
,
有最小值,记
的最小值为
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)极大值是,无极小值(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,利用导数求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(Ⅱ)问题可转化为证明,令
,
,通过求导判断单调性可得到
的最小值
,
的最大值是
,即可证明不等式成立;
(Ⅲ)求出函数的导数,结合
的范围,可判断函数的单调性及最小值,从而可得到
的表达式,然后通过构造函数判断
的单调性,即可证明结论。
解:(Ⅰ),令
,则
,
令,解得:
,
令,解得:
,
故在
处取得极大值,极大值是
,无极小值;
(Ⅱ)要证,即证
,
即证:,
令,
,则
,
令,则
,令
,则
,
故在
递减,在
递增,
故在
处取得极小值也是最小值
,
令,
,
故在
递增,在
递减,
故在
处取得极大值也是最大值
,
故对一切的,
恒成立,即
;
(Ⅲ),设
,则
,
由,得
,而
得
,
故在
递增,又
,
,
故存在唯一,使得
,即
,即
,
当,
,当
,
,
故在
递减,在
递增,
故在
处取极小值也是最小值
,
而,由
,故
,即
,
故在
递减,
故,即
,
从而,
即.
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练习册系列答案
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)、平均数(各组区间内的数据以该组区间的中点值为代表);
(Ⅱ)填写列联表,并判断是否有的把握认为物理成绩与班级有关?
物理成绩 | 物理成绩 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
附:列联表随机变量
;