已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.右顶点为A.点M(1.0)为线段OA的中点.其中O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E.F.试问在x轴上是否存在定点N.使得∠ENM=∠FNM?若存在.求出点N的坐标,若不存在.说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）通过点M（1，0）为线段OA的中点可知b=2，利用$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，计算即得结论；
（Ⅱ）通过设存在点N（x₀，0）满足题设条件，分EF与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．

解答解：（Ⅰ）由题意可得b=2，
又因为$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，
所以 $a=2\sqrt{2}$，
故所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$；
（Ⅱ）结论：在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．
理由如下：
假设存在点N（x₀，0）满足题设条件，
（1）当EF与x轴不垂直时，设EF的方程为y=k（x-1）．
则$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$消去y，整理得：（2+k²）x²-2k²x+k²-8=0．
可知△＞0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{2+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-8}}{{2+{k^2}}}$，
${k_{EN}}+{k_{FN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-{x_0}}}+\frac{y_2}{{{x_2}-{x_0}}}=\frac{{k（{x_1}-1）}}{{{x_1}-{x_0}}}+\frac{{k（{x_2}-1）}}{{{x_2}-{x_0}}}$=$\frac{{k（{x_1}-1）（{x_2}-{x_0}）+k（{x_2}-1）（{x_1}-{x_0}）}}{{（{x_1}-{x_0}）（{x_2}-{x_0}）}}$，
（x₁-1）（x₂-x₀）+（x₂-1）（x₁-x₀）=2x₁x₂-（1+x₀）（x₁+x₂）+2x₀=$\frac{2（{k}^{2}-8）}{2+{k}^{2}}$-$\frac{2（1+{x}_{0}）{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$+2x₀，
若∠ENM=∠FNM，则k_EN+k_FN=0，$即\;k[{\frac{{2（{k^2}-8）}}{{2+{k^2}}}-\frac{{2（1+{x_0}）{k^2}}}{{2+{k^2}}}+2{x_0}}]=0$，
整理得：k（x₀-4）=0，因为k∈R，所以x₀=4；
（2）当EF⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠ENM=∠FNM，满足题意；
综上，在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．