题目内容
设函数y=f（x）=ax3+bx2+cx+d图象与y轴的交点为P，且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0，若函数在x=2处取得极值-16，试求函数解析式，并确定函数的单调递减区间．
【答案】分析：要确定解析式，即求a，b，c，d这四个参数，由f′（0）=c，且切线24x+y-12=0可解得c，把x=0代入24x+y-12=0可得P点的坐标为解d，再由函数f（x）在x=2处取得极值-16，解得a，b，从而求得解析式，然后由导数的正负来求单调区间．
解答：解：由y′=3ax2+2bx+c⇒f′（0）=c，
∵切线24x+y-12=0的斜率k=-24，
∴c=-24，把x=0代入24x+y-12=0得y=12．
得P点的坐标为（0，12），由此得d=12，
f（x）即可写成f（x）=ax3+bx2-24x+12．
由函数f（x）在x=2处取得极值-16，
则得
解得
∴f（x）=x3+3x2-24x+12，f′（x）=3x2+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2．
∴递减区间为（-4，2）．
点评：本题主要考查了函数的极值点，导数的几何意义以及用导数法研究函数的单调性及求函数的单调区间，属中档题．
解答：解：由y′=3ax2+2bx+c⇒f′（0）=c，
∵切线24x+y-12=0的斜率k=-24，
∴c=-24，把x=0代入24x+y-12=0得y=12．
得P点的坐标为（0，12），由此得d=12，
f（x）即可写成f（x）=ax3+bx2-24x+12．
由函数f（x）在x=2处取得极值-16，
则得
解得∴f（x）=x3+3x2-24x+12，f′（x）=3x2+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2．
∴递减区间为（-4，2）．
点评：本题主要考查了函数的极值点，导数的几何意义以及用导数法研究函数的单调性及求函数的单调区间，属中档题．
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