题目内容
【题目】已知椭圆
，
、
分别是椭圆
长轴的左、右端点，
为椭圆上的动点.
（1）求
的最大值，并证明你的结论；
（2）设直线
的斜率为
，且
，求直线
的斜率的取值范围.
【答案】（1）
的最大值为
；证明见解析（2）
【解析】
（1）设
，（
，
），过点
作
轴，垂足为
，由三角函数的概念可得
，
，由两角和的正切公式可得
，求出
后由椭圆对称性即可得解；
（2）由题意可知
，利用
即可得
，由
的取值范围即可求得
的取值范围，即可得解.
（1）根据椭圆的对称性，不妨设，（，）.
过点作轴，垂足为，则
，
于是，有
，
，
，
点在椭圆
上，
，
，
，
而，
，
，
的最大值为，此时
，即点为椭圆的上顶点.
根据椭圆的对称性，当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值，其最大值为.
（2）设直线
的斜率为，，
则
，
，，
又，，
，
，
，
故直线的斜率的取值范围为
.
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