题目内容

已知函数f(x)=
1-x2

(1) 判断函数的奇偶性;
(2) 证明函数f(x)在[-1,0]为增函数,并判断它在[0,1]上的单调性;
(3) 求f(x)的最大值.
分析:这道题考查的是函数最基本的性质,第一问是奇偶性的考查,首先应看定义域是否关于原点对称再用定义判断,第二问是单调性的证明及判断,直接套用单调性的定义及一的结论即可,第三问是在第二问的基础上出的,用第二问的结论即可
解答:解:(1)由1-x2≥0,得,即函数的定义域为x|-1≤x≤1,关于原点对称.
f(x)=
1-x2
,则f(-x)=
1-x2
=f(x)
所以函数f(x)=
1-x2
是偶函数.
(2)设-1≤x1<x2≤0,则f(x1)-f(x2)=
1-x12
-
1-x22

=
(
1-x12
-
1-x22
)(
1-x12
+
1-x22
)
1-x12
+
1-x22

=
(1-x12)-(1-x22)
1-x12
+
1-x22
=
x22-x12
1-x12
+
1-x22
=
(x2-x1)(x2+x1)
1-x12
+
1-x22

因为-1≤x1<x2≤0,所以x2-x1>0,x2+x1<0,
1-x12
+
1-x22
>0
所以
(x2-x1)(x2+x1)
1-x12
+
1-x22
<0
即f(x1)-f(x2)<0
所以f(x1)<f(x2
故函数f(x)在[-1,0]上是增函数.
同理可得:函数f(x)在[0,1]上是减函数.
(3)因为函数f(x)在[-1,0]上是增函数,在[0,1]上是减函数,
所以当x=0时f(x)可取最大值,
即ymax=f(0)=1
点评:函数的单调性奇偶性及最值,是常考的基本点,只要基本功好,对函数性质全面地了解,才能做到有的放矢,克服难关.
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