Question

如图，四边形中，为正三角形，，，与交于点．将沿边折起，使点至点，已知与平面所成的角为，且点在平面内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.

Answer 1

(Ⅰ)由为的中点，可得，又，所以平面 ；
(Ⅱ).

试题分析：(Ⅰ)易知为的中点，
则，又，
又，平面，
所以平面   （4分）
(Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于
平面向上的直线为轴建立如图所示空间

直角坐标系，则,       （6分）
易知平面的法向量为 （7分）
，设平面的法向量为
则由得，
解得，，令，则 （9分）
则
解得，，即，即，
又，∴   故.（12分）   
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题利用向量法，简化了证明过程。折叠问题，要注意折叠前后“变”与“不变”的量。