Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB为45°.

（1）求证：AF∥平面PEC；

（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；

（3）设AD=2，CD=2，求点A到平面PEC的距离.

Answer 1

（1）证明：取PC的中点G，连结EG、FG.

∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且FG=CD.

而AE∥CD，且AE=CD，

∴EA∥GF，且EA=GF.

故四边形EGFA是平行四边形，

从而EG∥AF.

又AF平面PEC，EG平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，

∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，CD⊥AD，

∠PDA就是二面角PCDB的平面角.

∴∠ADP=45°,则AF⊥PD.

又AF⊥CD，PD∩CD=D，

∴AF⊥平面PCD.

由（1），EG∥AF，

∴EG⊥平面PCD.

而EG平面 PEC，∴平面 PEC⊥平面PCD.

（3）解析：过F作FH⊥PC交PC于H，

又平面PEC⊥平面PCD，则FH⊥平面PEC，∴FH为点F到平面PEC的距离.

而AF∥平面PEC，故FH等于点A到平面PEC的距离.

在△PFH与△PCD中，

∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角，∴△PFH∽△PCD，.

∵AD=2，CD=2，PF=，PC==4，

∴FH=·2=1.

∴点A到平面PEC的距离为1.