Question

【题目】如图，A 为椭圆的下顶点，过 A 的直线 l 交抛物线于B、C 两点，C 是 AB 的中点．

（I）求证：点C的纵坐标是定值；

（II）过点C作与直线 l 倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（II）见解析

【解析】

（I）根据点在抛物线上设出B的坐标，可表示出C的坐标，代入抛物线方程求得纵坐标.

（II）先利用条件得到，联立直线与椭圆的方程，求得弦长及到的距离，写出面积的表达式，利用基本不等式求得最值及相应的参数即可.

（Ⅰ）易知，不妨设，则，

代入抛物线方程得：

，得：，为定值.

（Ⅱ）点是中点，

直线的斜率，直线的斜率，

直线的方程：，即，

不妨记，则：

代入椭圆方程整理得：，

设，则

，，

，

到的距离，

所以 .

取等号时，，得，所以，.