题目内容
【题目】如图,A 为椭圆的下顶点,过 A 的直线 l 交抛物线于B、C 两点,C 是 AB 的中点.
(I)求证:点C的纵坐标是定值;
(II)过点C作与直线 l 倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点,求p的值,使得△BMN的面积最大.
【答案】(Ⅰ)见证明;(II)见解析
【解析】
(I)根据点在抛物线上设出B的坐标,可表示出C的坐标,代入抛物线方程求得纵坐标.
(II)先利用条件得到,联立直线与椭圆的方程,求得弦长及到的距离,写出面积的表达式,利用基本不等式求得最值及相应的参数即可.
(Ⅰ)易知,不妨设,则,
代入抛物线方程得:
,得:,为定值.
(Ⅱ)点是中点,
直线的斜率,直线的斜率,
直线的方程:,即,
不妨记,则:
代入椭圆方程整理得:,
设,则
,,
,
到的距离,
所以 .
取等号时,,得,所以,.
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