题目内容

【题目】如图,A 为椭圆的下顶点,过 A 的直线 l 交抛物线于B、C 两点,C 是 AB 的中点.

(I)求证:点C的纵坐标是定值;

(II)过点C作与直线 l 倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点,求p的值,使得△BMN的面积最大.

【答案】(Ⅰ)见证明;(II)见解析

【解析】

(I)根据点在抛物线上设出B的坐标,可表示出C的坐标,代入抛物线方程求得纵坐标.

(II)先利用条件得到,联立直线与椭圆的方程,求得弦长的距离,写出面积的表达式,利用基本不等式求得最值及相应的参数即可.

(Ⅰ)易知,不妨设,则

代入抛物线方程得:

,得:为定值.

(Ⅱ)中点,

直线的斜率,直线的斜率

直线的方程:,即

不妨记,则

代入椭圆方程整理得:

,则

的距离

所以 .

取等号时,,得,所以.

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