题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
2
2
，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
y1
，求3x1-4y1的取值范围．
分析：（1）依题意知，2a=4，e=
2
2
由此可求出椭圆C的方程．
（2）点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
y1
，由题设条件能推出3x1-4y1=-5x0．再由点P（x0，y0）在椭圆C：
x2
4
+
y2
2
=1上，能够铁推出3x1-4y1的取值范围．
解答：解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2．
∵e=
c
a
=
2
2
，
∴c=
2
，b=
a2-c2
=
2
．
∴所求椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
y1
，
∴
y0-y1
x0-x1
×2=-1
y0+y1
2
=2×
x0+x1
2

解得：x1=
4y0-3x0
5
，y1=
3y0+4x0
5
．
∴3x1-4y1=-5x0．
∵点P（x0，y0）在椭圆C：
x2
4
+
y2
2
=1上，
∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10．
∴3x1-4y1的取值范围为[-10，10]．
点评：本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程．
精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
（2012•盐城一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
PF1
|+|
PF2
|=4，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
2
2
，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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