题目内容
已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线
的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求
的取值范围．（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）先求出抛物线y2=16x的焦点和双曲线
的焦点，就可求出a，c进而求出椭圆的标准方程；
（2）先求出线段CD的方程，设出点P的坐标，找到
的表达式．再利用图象求出
的取值范围即可．
（3）先利用（1）的结论以及△F1MF2的面积求出圆的方程和点M的纵坐标，再把tan∠F1MF2的转化为两直线倾斜角的差，利用两角差的正切公式以及点M的坐标与圆的关系求出tan∠F1MF2的值即可．
解答：解：（1）因为抛物线y2=16x的焦点和双曲线
的焦点分别为（4，0）和（5，0）．
所以a=5，c=4
所以椭圆的标准方程：
；
（2）设P（x，y），则
；
CD：3x+5y-15=0（0≤x≤5）
则当OP⊥CD时，取到最小值，即：
；
当P在D点时，取到最大值：OD=5
所以：
．
（3）如图所示：
由第一问可知，圆的方程为x2+y2=25．△F1MF2的面积S=b2=9．
设M（x，y）．又△F1MF2的面积S=b2=9=
×2×4×y⇒4y=9，
又F1（-4，0）F2（4，0）．设直线MF2的倾斜角为α，直线MF1的倾斜角为β，
则tan∠F1MF2=tan（α-β）=
=
=
=
=2．
即tan∠F1MF2的值2．
点评：本题是对椭圆，圆，抛物线以及向量等知识的综合考查．在平时做题过程中，圆锥曲线只要出大题，一般多放在最后一题，或倒数第二题，是不易得分的题．
的焦点，就可求出a，c进而求出椭圆的标准方程；（2）先求出线段CD的方程，设出点P的坐标，找到
的表达式．再利用图象求出的取值范围即可．（3）先利用（1）的结论以及△F1MF2的面积求出圆的方程和点M的纵坐标，再把tan∠F1MF2的转化为两直线倾斜角的差，利用两角差的正切公式以及点M的坐标与圆的关系求出tan∠F1MF2的值即可．
解答：解：（1）因为抛物线y2=16x的焦点和双曲线
的焦点分别为（4，0）和（5，0）．所以a=5，c=4
所以椭圆的标准方程：
；（2）设P（x，y），则
；CD：3x+5y-15=0（0≤x≤5）
则当OP⊥CD时，取到最小值，即：
；当P在D点时，取到最大值：OD=5
所以：
．（3）如图所示：
由第一问可知，圆的方程为x2+y2=25．△F1MF2的面积S=b2=9．
设M（x，y）．又△F1MF2的面积S=b2=9=
×2×4×y⇒4y=9，又F1（-4，0）F2（4，0）．设直线MF2的倾斜角为α，直线MF1的倾斜角为β，
则tan∠F1MF2=tan（α-β）=
====2．即tan∠F1MF2的值2．
点评：本题是对椭圆，圆，抛物线以及向量等知识的综合考查．在平时做题过程中，圆锥曲线只要出大题，一般多放在最后一题，或倒数第二题，是不易得分的题．
练习册系列答案
相关题目
的焦点
为其一个焦点，以双曲线
的焦点
为顶点。
，且C、D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求
的取值范围。
的焦点
为其一个焦点，以双曲线
的焦点
为顶点。
，且
分别为椭圆的上顶点和右顶点，点
是线段
上的动点，求
的取值范围。
的焦点Q为顶点．
的取值范围．