Question

已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为48π，则异面直线AB与OC所成角余弦值为

 

．

Answer 1

分析：由球的表面积公式，算出球的半径R=2

3

，根据∠BAC=90°算出BC为平面ABC截球所得小圆的直径．以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，可得∠OCD（或其补角）就是异面直线AB与OC所成角．再在△OCD中利用余弦定理加以计算，即可得到异面直线AB与OC所成角余弦值．

解答：解：设球O的半径为R，
则球O的表面积为S=4πR²=48π，解得R=2

3

．
∵AB=2，BC=4，∠BAC=90°，
∴BC为平面ABC截球所得小圆的直径，
以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，可得四边形ACDB是截得小圆的内接矩形．
∵CD∥AB，∴∠OCD（或其补角）就是异面直线AB与OC所成角．
连线OD、OB，
△OCD中，CO=DO=R=2

3

，CD=AB=2．
∴cos∠OCD=

CO2+CD2-DO2

2×CO×CD

=

12+4+12

2×2 3 ×2

=

3

6

故答案为：

3

6

点评：本题在球当中求异面直线所成角的大小，着重考查了球的表面积公式、球的截面圆性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．