题目内容

(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数
(1)当0≤x≤200时,求函数vx)的表达式
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)fx)=x·vx)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)

解:(1)由题意:当0≤x≤20时,vx)=60;当20≤x≤200时,设vx)=axb
再由已知得解得………………………………4分
故函数vx)的表达式为
………………………………6分
(2)依题意并由(1)可得
……………………………8分
当0≤x≤20时,fx)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;……9分
当20≤x≤200时,fx)=x(200-x)≤2=.……………10分
当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.
所以,当x=100时,fx)在区间[20,200]上取得最大值.……………11分
综上,当x=100时,fx)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.
………12分

解析

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