Question

（1）求证：当a≥1时，不等式e^x-x-1≤

ax2e|x|

2

对于n∈R恒成立．
（2）对于在（0，1）中的任一个常数a，问是否存在x₀＞0使得e^x₀-x₀-1≤

ax02ex0

2

成立？如果存在，求出符合条件的一个x₀；否则说明理由．

Answer 1

（1）证明：（Ⅰ）在x≥0时，要使ex-x-1≤

ax2e|x|

2

成立．
只需证：ex≤

a

2

x2ex+x+1即需证：1≤

a

2

x2+

x+1

ex

①
令y(x)=

a

2

x2+

x+1

ex

，求导数y′(x)=ax+

1•ex-(x+1)ex

(ex)2

=ax+

-x

ex

∴y′(x)=x(a-

1

ex

)，又a≥1，求x≥0，故y'（x）≥0
∴y（x）为增函数，故y（x）≥y（0）=1，从而①式得证
（Ⅱ）在x≤0时，要使ex-x-1≤a

x2

2

e|x|成立．
只需证：ex≤

ax2

2

e-x+x+1，即需证：1≤

ax2

2

e-2x+(x+1)e-x②
令m(x)=

ax2

2

e-2x+(x+1)e-x，求导数得m'（x）=-xe^-2x[e^x+a（x-1）]
而φ（x）=e^x+a（x-1）在x≤0时为增函数
故φ（x）≤φ（0）=1-a≤0，从而m（x）≤0
∴m（x）在x≤0时为减函数，则m（x）≥m（0）=1，从而②式得证
由于①②讨论可知，原不等式e2-x-1≤

ax2

2

e|x|在a≥1时，恒成立…（6分）
（2）将ex0-x0-1≤a•

x 20

2

ex0变形为

a x 20

2

+

x0

ex0

-1＜0③
要找一个X₀＞0，使③式成立，只需找到函数t(x)=

a x 2

2

+

x+1

ex

-1的最小值，
满足t（x）min＜0即可，对t（x）求导数t′(x)=x(a-

1

ex

)
令t'（x）=0得ex=

1

a

，则x=-lna，取X₀=-lna
在0＜x＜-lna时，t'（x）＜0，在x＞-lna时，t'（x）＞0t（x）在x=-lna时，取得最小值t(x0)=

a

2

(lna)2+a(-lna+1)-1
下面只需证明：

a

2

(lna)2-alna+a-1)＜0，在0＜a＜1时成立即可
又令p(a)=

a

2

(lna)2-alna+a-1，对p（a）关于a求导数
则p′(a)=

1

2

(lna)2≥0，从而p（a）为增函数
则p（a）＜p（1）=0，从而

a

2

(lna)2-alna+a-1＜0得证
于是t（x）的最小值t（-lna）＜0
因此可找到一个常数x₀=-lna（0＜a＜1），使得③式成立   …（14分）